TERREMOTOS
Un terremoto, también llamado seísmo o sismo (del griego "σεισμός", temblor) o temblor de tierra es una sacudida del terreno que se produce debido al choque de las placas tectónicas y a la liberación de energía en el curso de una reorganización brusca de materiales de la corteza terrestreal superar el estado de equilibrio mecánico. Los más importantes yfrecuentes se producen cuando se libera energía potencial elásticaacumulada en la deformación gradual de las rocas contiguas al plano deuna falla activa, pero también pueden ocurrir por otras causas, porejemplo en torno a procesos volcánicos, por hundimiento de cavidadescársticas o por movimientos de ladera.




El 29 de agosto de 2008, en Pakistan, murieron cientos de personas en un fuerte terremoto de intensidad 6,4 en la escala de Ritcher. Pero, ¿sabemos interpretar este dato?. Para intentarlo repasemos unas nociones básicas de logaritmos.


Sabemos que log10=1, log100=2, log1000=3 y así sucesivamente. Si el logaritmo fuese de base el número e se llamaría neperiano. Vemos que el logaritmo crece lentamente al aumentar muy rápido el número al que se le aplica. Esto resulta muy útil para determinadas escalas en las que la magnitud a medir crece a saltos gigantescos.

La escala de Richter es una de ellas y mide la energía liberada por el movimiento de rotura de las rocas. La relación entre la magnitud, M, del seismo y la energía liberada, E, es logE=1,5M-1,74.

Se deduce de esta igualdad que un aumento de un punto en la escala de medida equivale a multiplicar, aproximadamente por 30 la energía liberada en la situación anterior.









También están presentes los logaritmos en química cuando medimos el pH. conocida como la Ecuación deHenderson-Hasselbach




Pero no crean que se trata de un asunto sólo de las ciencias. Los historiadores también lo usan cuando datan la antigüedad de los restos orgánicos por el método del C14. La dataciónpor Carbono-14 es un procedimiento para determinar la edad de ciertosobjetos arqueológicos que tengan un origen biológico con una antigüedadde hasta cerca de 60.000 años. Se utiliza para fechar cosas tales como:huesos, madera, fibras vegetales que fueron creadas en un pasadorelativamente reciente por actividades humanas

El carbono-14 esradioactivo, siendo su “período de semidesintegración ” de 5760 años(es decir, a los 5760 años de la muerte de un ser vivo la cantidad deC-14 en sus restos fósiles se reduce a la mitad).

Encuanto los organismos vegetales o animales mueren, cesa el intercambiocon la atmósfera y cesa el reemplazo de carbono de sus tejidos. Desdeese momento el porcentaje de C-14 de la materia orgánica muertacomienza a disminuir, ya que se transmuta en N-14 y no es reemplazado.

Lamasa de C-14 de cualquier fósil disminuye a un ritmo exponencial que esconocido. Se sabe que a los 5760 años de la muerte de un ser vivo lacantidad de C-14 en sus restos fósiles se ha reducido a la mitad y quea los 57600 años es de tan solo el 0,01% del que tenía cuando estabavivo.


( Otros autores consideran este periodo de 5730 añoscon un error de más menos 40 años. En Paleontología un error de estecalibre se considera mínimo)
La fórmula es la siguiente:


No: es la cantidad de C-14 original del fósil ( al morir).
Nf: es la cantidad de C-14 final del fósil ( al encontrarlo).
T1/2: es el periodo de semidesintegración del C-14, es constante. Nosotros utilizaremos 5.760 años.
t: tiempo estimado de antigüedad del fósil .

Sabiendola diferencia entre la proporción de C-14 que debería contener un fósilsi aún estuviese vivo (semejante a la de la atmósfera en el momento enque murió) y la que realmente contiene, se puede conocer la fecha de su muerte de forma bastante exacta.

Paramedir la cantidad de carbono-14 restante en un fósil, los científicosincineran un fragmento pequeño para convertirlo en gas de dióxido decarbono. Se utilizan contadores de radiación para detectar loselectrones emitidos por el decaimiento de carbono-14 en nitrógeno. Lacantidad de carbono-14 se compara con la de carbono-12, forma establedel carbono, para determinar la cantidad de radiocarbono que se hadesintegrado y así datar el fósil.

Midiendo la cantidad de este elemento en los restos encontrados dedujo W.F.Libby que algunos sarcófagos egipcios tenían una antigüedad de 4.600 años.


Vamos a ver dos ejemplos de la utilización de esta fórmula:

Ejemplo1:Se ha encontrado un fósil con un 10% de C-14 en relación con unamuestra viva, entonces el fósil tendría una antigüedad deaproximadamente 19150 años.

Sustituimos y resolvemos





Ejemplo2: Tengo 60 gr de C-14, al cabo de 8.000 años ¿cuánto c-14 habrá en el fósil?





Resolviéndo paso a paso


El testamento de Benjamín Franklin



Entre otras cosas afirmaba en su testamento:Nací en Boston, y debo mi inicial instrucción literaria a las escuelas públicas de primera enseñanzaestablecidas allí, por tanto, en mi testamento he tenido en cuenta a esas escuelas, ... Considero que, entre losartesanos, son los buenos aprendices los más idóneos para hacerse buenos ciudadanos ... Quiero ser útilincluso después de mi muerte, si ello es posible, para la formación y el progreso de otros jóvenes que puedanser útiles a su país, tanto en Boston como en Filadelfia. A tal fin dedico dos mil libras esterlinas, de las cualesdoy mil a los habitantes de la ciudad de Boston en Massachusets, y las otras mil a los habitantes de la ciudadde Filadelfia, en fidecomiso y para los usos, intereses y propósitos aquí mencionados y declarados.
Franklin tenía la idea de prestar dinero a jóvenes aprendices a un interés del 5% con laindicación de que cada beneficiario debería pagar cada año.
...junto con el interés anual, una décima parte de la principal, la suma de la principal y los intereses seprestará a nuevos beneficiarios.Si este plan se ejecuta y realiza como se ha proyectado durante cien años sin interrupción, la suma seráentonces de ciento treinta y una mil libras, de las cuales nombro administradores de la donación a loshabitantes de la ciudad de Boston, que pueden gastar a su discreción cien mil libras en obras públicas, ... Lastreinta y una mil libras restantes se pondrán a interés de la manera indicada anteriormente durante otros cienaños... Al final de este segundo periodo, si ningún accidente desafortunado ha estorbado la operación, lasuma será de cuatro millones sesenta y una mil libras.
Los prestatarios no fueron siempre tan numerosos como hubiese deseado Franklin. Al cabo deun siglo, en enero de 1894, el fondo había crecido hasta unas noventa mil libras, en lugar delas ciento treinta y una mil previstas.
Supongamos que colocamos en un banco 30000 euros a un interés anual del 5%.
Al final del año nos ingresarán los intereses y tendremos = 30000 · 1'05 =31500 euros.
Si le solicitamos al director que distribuya el 5% anual en dos pagos semestrales al 2'5%, loque se llama interés compuesto semestral, ¿dará lo mismo?:
Al final del primer trimestre se nos ingresarán = 30000 · 1'025. Sino sacamos el dinero, al final del segundo semestre, tendremos la cantidad que teníamos alcomienzo de este periodo multiplicada de nuevo por 1'025, es decir: = 30000 · 1'025 2 = 31518'75 . Hemos ganado 18'75 euros más.
Puestos a pedir, le solicitamos que el 5% anual de interés se reparta en doce pagos mensualesa un interés del 5/12 %. En cuyo caso, al final del año tendríamos un capital de = 31534'85694 euros.
Como el capital está a disposición del banco todas los días del año, al menos teóricamente, sepodría exigir que actualizara los intereses de día en día. El 5 % del interés anual habría quecambiarlo al 5/365 % diario. De esta forma, al final, tendríamos = 315380'2489 euros.
El no va más de las exigencias sería que, no sólo ya cada hora, sino que cada instante seactualizara el interés. Dicho de otro modo, que la actualización fuese continua. El problema esque el numero de instantes que tiene el año es infinito y sólo se nos ocurre aproximarnos a esaidea exigiendo la actualización segundo a segundo. Como el número de segundos que contieneel año es de 31536000, el resultado final sería de un capital de
= 315381' 3289003 euros, aproximadamente.
En la calculadora, con la tecla ex, halla 300000 · e 0'05 y obtendrás un valor muy próximo alanterior.
La fórmula para el interés continuo es ,donde C0 es el capital inicial, r es el interés dividido por 100 y t esel número de años que tenemos el capital invertido.
¿Qué tasa de interés compuesto, de manera continua durante cien años, habría dado lugar a lasnoventa mil libras del testamento de Franklin?






Velocidad proporcional al espacio recorrido

Hemos puesto el ejemplo anterior para que veas un caso en el que aparece este númeromisterioso. Existen ámbitos muy diferentes al anterior en el que también se nos presenta:
En Física se estudian situaciones en las que la velocidad de un móvil es proporcional al espacioque lleva recorrido (así ocurre con las fuerzas de rozamiento). Consideremos un móvil queestá moviéndose sobre la recta a una velocidad igual a la décima parte de su distancia alorigen. Supondremos que parte desde una distancia de 100 m respecto al 0, lo hará entoncescon una velocidad inicial de 10 m/s

Cuando se halle a 70 m del origen llevará una velocidad de 7 m/s:



Cuando se halle a 15 m de distancia su velocidad habrá disminuido hasta 1'5 m/s


Como cuesta trabajo imaginar que la velocidad cambie en cada instante, vamos a suponer quelos cambios se producen de segundo en segundo. Al comienzo de cada segundo que pasa, lavelocidad será la décima parte de la distancia que ocupe el móvil respecto al origen:

velocidad (m/s)
espacio recorridoen ese tiempo (m)
posición final (m hasta el origen)de 0 a 1 s1010100 - 10 = 90 (= 100 * 0'9)de 1 a 29990 - 9 = 81 = 90 * 0'9 (= 100 * 0'9 2)de 2 a 38'18'181 - 8'1 = 72'9 = 81 * 0' 9 (= 100 * 0'9 3)Se observa que la posición, cuando han pasado t segundos, es de 100*0'9 t =De esta manera, es fácil comprobar que, justo cuando ha pasado un minuto, el móvil seencuentra a
100 * 0'9 60 = 0'17970103 m del origen (unos 18 cm) y que se dirige haciaéste auna velocidad aproximada de 1'8 cm por segundo.
Supongamos que el ojo humano no es capaz de apreciar una velocidad de una décima demilímetro por segundo (10 -5 m/s). ¿Cuándo llevará el móvil esta velocidad?, ¿a qué distanciase encontrará del origen?Si pensamos ahora que los cambios de velocidad se producen de medio segundo en mediosegundo, tendremos la siguiente tabla:

velocidad (m/s)
espaciorecorridoen ese tiempo(m)
posición final (m hasta el origen)de 0 a 1/2 s1010/2100 - 10/2 = 95 (= 100 * 0'95 )de 1/2 a 19'59'5/295 - 9'5/2 = 90'25 = 95 * 0'95 (= 100 * 0'95 2)de 1 a 3/29'0259'025/290'25 - 9'025/2 = 85'7375 = 90'25 * 0' 95 (= 100* 0'95 3)
Al cabo de k intervalos de medio segundo, la posición será de 100* 0'95 k metros hasta elorigen. En consecuencia, al cabo de t segundos su posición es de 100*0'95 2 t =metros.
Por un procedimiento similar, podríamos establecer que si los cambios de velocidad seprodujesen cada milésima de segundo, la posición, tras t segundos, sería la de. Es fácil comprobar que cuanto más pequeño sea elintervalo en el que cambiamos de velocidad, más nos acercamos a la mágica expresión que es la auténtica fórmula del movimiento.




Hemos hablado de un caso en que la velocidad era proporcional al espacio recorrido. Parecidaes la situación que describe la Ley del Newton del enfriamiento de los cuerpos. Esta leyestablece que el enfriamiento de un cuerpo es proporcional, en cada instante, a la diferenciacon la temperatura ambiente. Precisando, la ley dice que si T0 es la temperatura inicial con queintroducimos u cuerpo en un ambiente a una temperatura de Ta grados, al cabo de un tiempo tla temperatura del cuerpo es: , donde k es una constante, llamada constante de enfriamiento,particular de cada cuerpo.William Dunhan, en su libro El universo de las matemáticas, nos cuenta cómo Clara, la noviade Edu el comadreja, se libró de la acusación por el asesinato de éste: Clara pasó la tarde enel bar de Luisa, bebiendo mucho y amenazando con matar a Edu; a las once y cuarto salió dellocal maldiciendo, completamente fuera de sí.
A las 12 de la noche la policía entraba en el apartamento de Edu, tras recibir una llamadaanónima, encontrando su cadaver. Un oficial tomó nota de que la temperatura ambiente era de68 ºF y la del cadáver de 85 ºF. Al finalizar el trabajo, dos horas más tarde, se volvió a tomarla temperatura de el comadreja, que había descendido hasta los 74 ºF.
Averigua, con los datos anteriores, la constante de enfriamiento del finado Edu, y halla la horade su fallecimiento, para comprobar que la despechada Clara tenía una coartada perfecta.Se introduce un cuerpo caliente en un medio determinado y se realizan las siguientesmediciones: transcurrida una hora, el cuerpo presenta una temperatura de 52º, pasadas doshoras su temperatura baja a 33º y, a la tercera hora, la temperatura era ya de 20'5º. Determinarla temperatura ambiente y la temperatura inicial del cuerpo.



El economista británico Thomas Malthus propuso en 1798 que el crecimiento de unapoblación se puede considerar como un proceso continuo, cuya velocidad de aumento esproporcional a la población ya existente: tenemos todos los ingredientes para la aparición denuestro número.
Si P0 es la población inicial (es decir, la existente cuando comenzamos a contar), existe unaconstante de crecimiento k en cada población, de manera que el número de individuos al cabode un tiempo t, viene expresado por una ley del tipo P(t) = P0 e k t . Por ejemplo, supongamosque contabilizamos 500 bacterias en una placa de Petri. Una hora después comprobamos quesu número ha aumentado hasta 800: P(1) = 800 = 500 e k · 1 , tomando logaritmos se calculafácilmente el valor de k como 0'47 (aproximadamente).
La ley de crecimiento de la población queda como P(t) = 500 e 0'47 t .
Esto, dejado así, presenta un problema: al cabo de una semana, el número de bacterias será deunos
500 e 0'47 · 168 = 10 37 ejemplares, aproximadamente.
Si consideramos una bacteria que tenga un volumen de cuatro micras cúbicas, calcula cuántoocuparían las anteriores y verás que nos saldrían estos bichos por la boca.En la realidad ocurre que las poblaciones encuentran un nivel de saturación, que no puedensobrepasar por dificultades de espacio, de alimento o de otros condicionantes. Los biólogoshan perfeccionado la fórmula estableciendola como P(t) =,llamado modelo logísticodonde A (nivel de saturación) B y K son constantes que dependen de cada poblaciónparticular.





Mezcla de líquidos
Tenemos un tanque con una solución al 25% de ácido y resto de agua. Para limpiar el tanque,introducimos por arriba un caudal de agua a 3 galones por segundo. El tanque evacua similarcantidad por el grifo de abajo.






La exponencial en la Psicología.
La experimentación demuestra que un modelo para describir el aprendizaje de una serie desímbolos por una persona viene dado por la ecuación donde , para cadapersona, N y K se determinan empíricamente, y S es el número de símbolos que una personapuede aprender en t horas.¿Qué representa N? Supongamos que una persona ha aprendido 20 símbolos después de 4 horas, y 25después de 6. Halla N y k, y determina cuál es el número máximo de símbolos quepodrá aprender antes de "embotarse".








En sicología se utiliza la ley de Weber-Fechner, deestímulo-respuesta, que dice que la respuesta (R) serelaciona con el estímulo (E) mediante la ecuación
, donde E0 es el valor mínimo del estímulo que puede detectar elsujeto, y k es una constante que depende delexperimento.
Esta ley también se utiliza para describir lapercepción de la luz. E0 denota la intensidad de luzque apenas es visible para una persona. La diferenciaaparente en el brillo viene dada por R, que se conoce como magnitud aparente de la fuenteluminosa. Una modificación simple de este modelo es la que utilizan los astrónomos paraasignar las magnitudes de brillantez de las estrellas.
A un levantador de pesas se le aplica un estímulo de electricidad (en voltios) para alentarlo alevantar más peso (este método ha sido utilizado por algunos levantadores).
Supongamos que el estímulo mínimo que siente el atleta es de 50 voltios, y que unadescarga de 500 le induce a levantar 10 libras más del valor normal. ¿Qué voltajedeberá aplicársele para que alce 20 libras por encima del valor normal?



La intensidad del sonido es el flujo de energía por unidad de área que produce medida enwatts por metro cuadrado. Las intensidad de sonido mínima que puede escucharse (el umbralde audibilidad) es aproximadamente 10 -2 W/m 2. La sonoridad de un sonido se define como, donde I es la intensidad y L se mide en decibelios.
Losescalones de sonoridad: 10 decibelios, 20 decibelios, etc. foman en nuestrooído una progresión aritmética, en cambio la energía de estos sonidosconstituye una progresión geométrica de razón 10. Como ejemplo, unaconversación en voz alta produce 65 decibelios, el rugido de un león 87decibelios (posee una energía 158 veces mayor que la conversación en vozalta), el ruido de un martillo sobre una lámina de acero 110. Un ruido superiora 80 decibelios es perjudicial.
La intensidad de sonido producida por un gran avión de reacción es 10 13 veces tan intensacomo el umbral de audibilidad. ¿Cómo es de ruidoso?
Si se duplica la intensidad de un sonido, ¿en cuántos decibelios aumenta la sonoridad?



Los grados de tonalidad de la escala cromática no son equidistantes por el elnúmero de vibraciones ni por la longitud de onda de sus sonidos, sino querepresentan los logaritmos en base 2 de estas magnitudes.
Supongamos que lanota do de la octava más baja, que representaremos por cero, estádeterminada por n vibraciones por segundo. El do de la primera octavaproducirá 2n vibraciones, el do de m-ésima octava producirá n·2mvibraciones cada segundo. Si hemos llamado cero a do, y seguimosnumerando las notas, tendremos que sol será la 7ª, la la 9ª, la12ª será de nuevo do, en una octava nás alta, etc. Como en la escalacada nota tiene más vibraciones que la anterior, entonces el número de éstas en cualquiertono se puede expresar con la fórmula .Tomando logaritmos:
Al tomar el número de vibraciones del do más bajo como unidad ypasando los logaritmos a base 2, se tiene que
En el tono sol de la tercera octava,,3 es la característica del logaritmo del número de vibraciones y 7/12 lamantisa del mismo logaritmo en base 2. Se tiene que el número de vibraciones es23'583 , que es 11'98 veces mayor que las del tono do de la1ª octava.


Esto es todo, la idea es transmitir lo apasionante de la matemática, al menos te vas del post sabiendo que los logaritmos son mucho más que resolver esto, si tu profesor te coloca ejercicios así