Esta primera parte es un poco resumida, para tener una idea básica antes de entrar a estudiar los conjuntos numéricos y las operaciones que están permitidas en ellos. Encontraras temas muy elementales que te parecerán innecesarios, pero lo importante creo yo, es la rigurosidad en el estudio de una materia (entendiendo por rigurosidad el ser detallista) preguntarse hasta lo más tonto y partiendo de ahí, de una base segura, ir hacia los mas complejo, siempre despacio, pues la velocidad, como diría el maestro Abel Carlevaro, es enemiga de… va! no me acuerdo. Bueno después me fijo y edito el post.
Un último comentario: ¡¡¡estudien muchachos!!!

Temas que encontraras:

1- Idea de número
2- Los sistemas de numeración
3- Serie de los números naturales
4- La operación de contar
5- Números cardinales y ordinales

También algunos animales poseen –al parecer- una rudimentaria noción de número.
Si de un nido que contiene cinco huevos quitamos uno o dos, el ave sigue empollándolos sin notar la sustracción, pero si quitamos tres o cuatro, la abandona y no regresa más a él. ¿Puede explicarse esto sin atribuir a las aves una rudimentaria idea de número?
Otro caso notable es el de muchas avispas que depositan, junto con sus huevos, arañas u orugas anestesiadas que servirán de alimento a sus crías, cuando nazcan.

Muchas especies depositan siempre el mismo número de presas, lo que implica también reconocer la existencia de la idea de número.

Más notable aun es el caso del Genus Eumenus, una avispita en la que el macho es mucho más pequeño que la hembra. “De alguna manera misteriosa, la madre sabe qué huevo producirá un macho y qué huevo producirá una hembra, y suministra a cada celda el alimento necesario: cinco orugas si el huevo corresponde a un macho y diez si corresponde a una hembra”. (Tobías Dantzig – “Número, lenguaje de la Ciencia”, pág. 14.)

• Los sistemas de numeración

Deben haber pasado miles de siglos entre el día en que el hombre adquirió la idea de número y el día en que fue capas de organizar un sistema de numeración que le permitiese expresar cualquier número, aun sin poseer el correspondiente conjunto modelo.

Un sistema de numeración debe permitir pasar de un número cualquiera al que le sigue inmediatamente; y como no sería posible recordar todos los nombres si fuesen arbitrarios, debe existir una regla de formación de tales nombres. Regla que empleamos cuando decimos que al novecientos treinta y uno sigue el novecientos treinta y dos, a este el novecientos treinta y tres, etc.
Además debe atender a la representación simbólica de tales números, que en nuestro sistema está dada por las cifras: 1, 2, 3, 4, etc.
Los diferentes pueblos han ideado incontables sistema de numeración. Entre nosotros existen en uso dos: el sistema romano y el sistema decimal, también llamado indio o arábigo.

• Serie natural de los números

La serie que todos conocemos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, etc., escrita mediante estos signos (a los que reservamos por costumbre el nombre de números), o mediante sus nombres expresados con letras: uno, dos, tres, etc., constituye la serie natural de los números.
Cada uno de sus componentes se llama número natural.
La serie natural de los números está formada por infinitos términos, porque dado un número, por grande que sea., siempre puede concebirse (y nombrarse) el que se obtiene sumándole una unidad más.

• La operación de contar

A pesar de que aún empleamos algunos conjuntos modelos (cuando contamos ayudándonos con los dedos, por ejemplo) lo corriente es que el hombre moderno prescinda de ellos.
Para nosotros contar es hacer corresponder a cada objeto de un conjunto uno de los números de la serie natural: uno, dos, tres, cuatro, etc.
El número que corresponde al último elemento representa a todo el conjunto y recibe el nombre de número cardinal del conjunto.

• Números cardinales y ordinales